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Inhalt

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import animation
plt.rcParams['figure.figsize'] = [10, 5] #Plotgröße anpassen
import matplotlib
from matplotlib import animation, rc
matplotlib.rcParams['text.usetex'] = True
font = {'family' : 'normal',
        'weight' : 'bold',
        'size'   : 16}
matplotlib.rc('font', **font)

from sympy import *
init_printing(use_latex='mathjax')

from IPython.display import display, Markdown, Latex, Math, HTML


def calculate_TN(vals):
    TEq = Eq(T,1/(w/(2*pi)))
    TEqN = Eq(T,TEq.rhs.subs(vals))
    try:
        vals[T] = TEqN.rhs
    except:
        vals = vals | {T:TEqN.rhs}
    return vals

def calculate_tN(vals,nTN):
    #ntN multiple of Periodendauer 
    tN= nTN*T
    tEqN = Eq(t,tN.subs(vals))
    #display(tEqN)
    try:
        vals[t] = tEqN.rhs
    except:
        vals = vals | {t:tEqN.rhs}
    #display(vals)
    return vals

def calculate_lamN(vals):
    lamSubs = lamEq.rhs.subs({bet:betEq.rhs}).evalf()
    #display(lam)
    lamEqN = Eq(lam,lamSubs.subs(vals))
    #display((lamEqN))
    try:
        vals[lam] = lamEqN.rhs
    except:
        vals = vals | {lam:lamEqN.rhs}
    return vals

def calculate_ZLcN(vals):
    ZLcEqN = Eq(ZLc,ZLcEq.rhs.subs(vals))
    #display(ZLcEqN)
    try:
        vals[ZLc] = ZLcEqN.rhs
    except:
        vals = vals | {ZLc:ZLcEqN.rhs}
    return vals

def calculate_rc0N(vals):
    #display(rc0Eq1)
    rc0Eq1N = Eq(rc0,rc0Eq1.rhs.subs(vals))
    #display(rc0Eq1N)
    try:
        vals[rc0] = rc0Eq1N.rhs
    except:
        vals = vals | {rc0:rc0Eq1N.rhs}
    return vals

def assign_LN(vals,LN):
    #display(rc0Eq1)
    LEqN = Eq(L,LN)
    #display(LEqN)
    try:
        vals[L] = LEqN.rhs
    except:
        vals = vals | {L:LEqN.rhs}
    return vals

def assign_Z2N(vals,Z2cN):
    #display(rc0Eq1)
    Z_2cEqN = Eq(Z2c,Z2cN)
    #display(LEqN)
    try:
        vals[Z2c] = Z_2cEqN.rhs
    except:
        vals = vals | {Z2c:Z_2cEqN.rhs}
    return vals

def assign_legend_entry(sym_legend,symbol,entry):
    try:
        sym_legend[symbol] = entry
    except:
        sym_legend = sym_legend | {symbol:entry}
    return sym_legend

def equation_over_time(func_of_time,vals):
    #display(vals)
    
    #inc = lamEq.rhs.subs(vals)/500
    #l_array = np.arange(0,4*(lamEq.rhs.subs(vals)),inc).astype(float) #generate array
    
    num = 500
    #print(4*float(lamEq.rhs.subs(vals)))
    l_array = np.linspace(0,int(vals[L]/vals[lam])*float(lamEq.rhs.subs(vals)),num) #generate array

    func_of_timeSubs = func_of_time.rhs.subs({gam:gamEq.rhs})
    #display(func_of_time)
    #display(func_of_timeSubs)
    func_of_timeN = func_of_timeSubs.subs(vals)
    #display(func_of_timeN)
    
    if func_of_time==0:
        func_of_timeNnp = np.zeros(len(l_array))
    else:
        func_of_timeNnp=lambdify(l, (func_of_timeN),"numpy") #convert sympy to numpy
    #display(UhltNnp(0.0))
    
    
    
    return l_array,func_of_timeNnp(l_array)

def plot_over_time(l_array,UhltNnpA):
    lamN = vals[lam]    
    fig, ax1 = plt.subplots(1, 1)
    fig.set_size_inches(10, 10)
    fig.suptitle('Strom- und Spannungsamplitudenverlauf')

    ax1.plot(l_array,UhltNnpA)
    ax1.grid()
    ax1.invert_xaxis()
    #print(max(l_array))
    xtick_array = np.linspace(0,max(l_array),int(max(l_array)/(lamN/4))+1)
    ax1.set(xlabel='Länge in m',xticks=xtick_array)

2. Leitungstheorie

[Mei92] In der Leitungstheorie ist der Begin der Leitung Links. Also vom Verbraucher zum Generator hin. Strom und Spannung werden in Anhängigkeit der Position auf der Leitung \(l\) angegeben.

Abb. 2.1 Strom und Spannung auf einer Leitung

Die Leitung kann in kleine Leitungsteile zerlegt werden.

Abb. 2.2 Leitungssegment

Die Werte der Leitungsbeläge müssen durch Messung bestimmt werden. Typische Werte können aus der Tabelle entnommen werden. [Gra]

Abb. 2.3 Typische Werte für Leitungsbeläge [Gra]

sym_legend = {}
#Complex symbols
Uhcl,Urcl = symbols(r'\underline{U}_h(l),\underline{U}_r(l)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Uhcl,'Komplexe hinlaufende Spannungswelle')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Urcl,'Komplexe rücklaufende Spannungswelle')

Ihcl,Ircl = symbols(r'\underline{I}_h(l),\underline{I}_r(l)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ihcl,'Komplexe hinlaufende Stromwelle')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ircl,'Komplexe rücklaufende Stromwelle')

Uhc0,Urc0 = symbols(r'\underline{U}_h(0),\underline{U}_r(0)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Uhc0,r'Komplexe hinlaufende Spannungswelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Urc0,r'Komplexe rücklaufende Spannungswelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $')

Ihc0,Irc0 = symbols(r'\underline{I}_h(0),\underline{I}_r(0)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ihc0,r'Komplexe hinlaufende Stromwelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Irc0,r'Komplexe rücklaufende Stromwelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $')

Uhclt,Urclt = symbols(r'\underline{U}_h(l\,t),\underline{U}_r(l\,t)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Uhclt,'Komplexe hinlaufende Spannungswelle in Abhängigkeit der Position auf der Leitung und der Zeit')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Urclt,'Komplexe rücklaufende Spannungswelle in Abhängigkeit der Position auf der Leitung und der Zeit')

Ihclt,Irclt = symbols(r'\underline{I}_h(l\,t),\underline{I}_r(l\,t)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ihclt,'Komplexe hinlaufende Stromwelle in Abhängigkeit der Position auf der Leitung und der Zeit')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Irclt,'Komplexe rücklaufende Stromwelle in Abhängigkeit der Position auf der Leitung und der Zeit')

Uhc0t,Urc0t = symbols(r'\underline{U}_h(0\,t),\underline{U}_r(0\,t)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Uhc0t,r'Komplexe hinlaufende Spannungswelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $ in Abhängigkeit der Zeit')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Urc0t,r'Komplexe rücklaufende Spannungswelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $ in Abhängigkeit der Zeit')

Ihc0t,Irc0t = symbols(r'\underline{I}_h(0\,t),\underline{I}_r(0\,t)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ihc0t,r'Komplexe hinlaufende Stromwelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $ in Abhängigkeit der Zeit')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Irc0t,r'Komplexe rücklaufende Stromwelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $ in Abhängigkeit der Zeit')

Ucl = symbols(r'\underline{U}(l)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ucl,'Komplexe Spannungswelle')

Icl = symbols(r'\underline{I}(l)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Icl,'Komplexe Stromwelle')

Uclt = symbols(r'\underline{U}(l\,t)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Uclt,'Komplexe Spannungswelle in Abhängigkeit der Position auf der Leitung und der Zeit')

Iclt = symbols(r'\underline{I}(l\,t)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Iclt,'Komplexe Stromwelle in Abhängigkeit der Position auf der Leitung und der Zeit')

gam,ZLc = symbols(r'\underline{\gamma},\underline{Z}_L')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,gam,'Komplexe Ausbreitungsmaß')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,ZLc,'Komplexe Leitungsimpedanz')

#Yet unknown
U1c,U2c = symbols(r'\underline{U}_1,\underline{U}_2')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,U1c,'Komplexe Spannung am Leitungsanfang $l=L$')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,U2c,'Komplexe Spannung am Leitungsende $l=0$')

I1c,I2c = symbols(r'\underline{I}_1,\underline{I}_2')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,I1c,'Komplexer Strom am Leitungsanfang $l=L$')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,I2c,'Komplexer Strom am Leitungsende $l=0$')

U1ct,U2ct = symbols(r'\underline{U}_1(t),\underline{U}_2(t)')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,U1ct,'Komplexe Spannung am Leitungsanfang $l=L$ in Abhängigkeit der Zeit')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,U2ct,'Komplexe Spannung am Leitungsende $l=0$ in Abhängigkeit der Zeit')

I1ct,I2ct = symbols(r'\underline{I}_1(t),\underline{I}_2(t)')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,I1ct,'Komplexer Strom am Leitungsanfang $l=L$ in Abhängigkeit der Zeit')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,I2ct,'Komplexer Strom am Leitungsende $l=0$ in Abhängigkeit der Zeit')

Z1c,Z2c = symbols(r'\underline{Z}_1,\underline{Z}_2')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,I1ct,'Komplexer Widerstand am Leitungsanfang $l=L$')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,I2ct,'Komplexer Widerstand am Leitungsende $l=0$')

rcl = symbols(r'\underline{r}(l)')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,rcl,'Komplexer Reflexionsfaktor entlang der Leitung')

rc0 = symbols(r'\underline{r}(0)')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,rc0,'Komplexer Reflexionsfaktor am Leitungsende $l=0$ ')


#Real symbols
Uhl,Url = symbols(r'U_h(l),U_r(l)',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Uhl,'Realteil der hinlaufende Spannungswelle')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Url,'Realteil der rücklaufende Spannungswelle')

Ihl,Irl = symbols(r'I_h(l),I_r(l)',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ihl,'Realteil der hinlaufende Stromwelle')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Irl,'Realteil der rücklaufende Stromwelle')

Uhlt,Urlt = symbols(r'U_h(l\,t),U_r(l\,t)',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Uhlt,'Realteil der hinlaufende Spannungswelle in Abhängigkeit der Zeit')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Urlt,'Realteil der  rücklaufende Spannungswelle in Abhängigkeit der Zeit')

Ihlt,Irlt = symbols(r'I_h(l\,t),I_r(l\,t)',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ihlt,'Realteil der hinlaufende Stromwelle in Abhängigkeit der Zeit')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Irlt,'Realteil der rücklaufende Stromwelle in Abhängigkeit der Zeit')

Uh0t,Ur0t = symbols(r'U_h(0\,t),U_r(0\,t)',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Uh0t,'Realteil der hinlaufende Spannungswelle am Leitungsende $l=0$')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ur0t,'Realteil der  rücklaufende Spannungswelle am Leitungsende $l=0$')

Ih0t,Ir0t = symbols(r'I_h(0\,t),I_r(0\,t)',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ih0t,'Realteil der hinlaufende Stromwelle am Leitungsende $l=0$')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ir0t,'Realteil der rücklaufende Stromwelle am Leitungsende $l=0$')

U1,U2 = symbols(r'U_1,U_2',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,U1,'Realteil der Spannung am Leitungsanfang $l=L$')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,U2,'Realteil der Spannung am Leitungsende $l=0$')

I1,I2 = symbols(r'I_1,I_2',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,I1,'Realteil des Stromes am Leitungsanfang $l=L$')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,I2,'Realteil des Stromes am Leitungsende $l=0$')

U1t,U2t = symbols(r'U_1(t),U_2(t)',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,U1t,'Realteil der Spannung am Leitungsanfang $l=L$ in Abhängigkeit der Zeit')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,U2t,'Realteil der Spannung am Leitungsende $l=0$ in Abhängigkeit der Zeit')

I1t,I2t = symbols(r'I_1(t),I_2(t)',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,I1t,'Realteil des Stromes am Leitungsanfang $l=L$ in Abhängigkeit der Zeit')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,I2t,'Realteil des Stromes am Leitungsende $l=0$ in Abhängigkeit der Zeit')

Ul = symbols(r'U(l)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ul,'Realteil der Spannungswelle')

Il = symbols(r'I(l)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Il,'Realteil der Stromwelle')

Ult = symbols(r'U(l\,t)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ult,'Realteil der Spannungswelle in Abhängigkeit der Zeit')

Ilt = symbols(r'I(l\,t)',real=false)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ilt,'Realteil der Stromwelle in Abhängigkeit der Zeit')

lam,alp,bet,ZL = symbols(r'lambda,alpha,beta,Z_L',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,lam,'Wellenlänge')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,alp,'Dämpfungskonstante')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,bet,'Phasenmaß')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,ZL,'Reelle Leitungswiderstand')

Rs,Ls,Cs,Gs=symbols('R´,L´,C´,G´',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Rs,'Widerstandsbelag')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Ls,'Induktionsbelag')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Cs,'Kapazitätsbelag')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Gs,'Leitwertbelag')

t,f,w,l=symbols('t,f,\omega,l',real=true)
T,L=symbols('T,L',real=true)
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,t,'Zeit')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,T,'Periodendauer')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,f,'Frequenz')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,w,'Kreisfrequenz')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,l,'Position auf der Leitung')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,L,'Länge der Leitung')

Z1,Z2=symbols(r'Z_1,Z_2')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Z1,'Widerstand am Leitungsanfang $l=L$')
sym_legend = assign_legend_entry(sym_legend,Z2,'Widerstand am Leitungsende $l=0$')

j=I

for key in sym_legend:
    display(Latex(' ' + latex(key) + '  ...  \\textrm{' + sym_legend[key] + '}' ) )
    #display(Latex('$ ' + latex(key) + '$  ...  ' + sym_legend[key] + '' ) )

\[\underline{U}_h(l) ... \textrm{Komplexe hinlaufende Spannungswelle}\]

\[\underline{U}_r(l) ... \textrm{Komplexe rücklaufende Spannungswelle}\]

\[\underline{I}_h(l) ... \textrm{Komplexe hinlaufende Stromwelle}\]

\[\underline{I}_r(l) ... \textrm{Komplexe rücklaufende Stromwelle}\]

\[\underline{U}_h(0) ... \textrm{Komplexe hinlaufende Spannungswelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $}\]

\[\underline{U}_r(0) ... \textrm{Komplexe rücklaufende Spannungswelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $}\]

\[\underline{I}_h(0) ... \textrm{Komplexe hinlaufende Stromwelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $}\]

\[\underline{I}_r(0) ... \textrm{Komplexe rücklaufende Stromwelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $}\]

\[\underline{U}_h(l,t) ... \textrm{Komplexe hinlaufende Spannungswelle in Abhängigkeit der Position auf der Leitung und der Zeit}\]

\[\underline{U}_r(l,t) ... \textrm{Komplexe rücklaufende Spannungswelle in Abhängigkeit der Position auf der Leitung und der Zeit}\]

\[\underline{I}_h(l,t) ... \textrm{Komplexe hinlaufende Stromwelle in Abhängigkeit der Position auf der Leitung und der Zeit}\]

\[\underline{I}_r(l,t) ... \textrm{Komplexe rücklaufende Stromwelle in Abhängigkeit der Position auf der Leitung und der Zeit}\]

\[\underline{U}_h(0,t) ... \textrm{Komplexe hinlaufende Spannungswelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $ in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[\underline{U}_r(0,t) ... \textrm{Komplexe rücklaufende Spannungswelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $ in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[\underline{I}_h(0,t) ... \textrm{Komplexe hinlaufende Stromwelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $ in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[\underline{I}_r(0,t) ... \textrm{Komplexe rücklaufende Stromwelle am Leitungsende $l=0 \ \text{m} $ in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[\underline{U}(l) ... \textrm{Komplexe Spannungswelle}\]

\[\underline{I}(l) ... \textrm{Komplexe Stromwelle}\]

\[\underline{U}(l,t) ... \textrm{Komplexe Spannungswelle in Abhängigkeit der Position auf der Leitung und der Zeit}\]

\[\underline{I}(l,t) ... \textrm{Komplexe Stromwelle in Abhängigkeit der Position auf der Leitung und der Zeit}\]

\[\underline{\gamma} ... \textrm{Komplexe Ausbreitungsmaß}\]

\[\underline{Z}_L ... \textrm{Komplexe Leitungsimpedanz}\]

\[\underline{U}_1 ... \textrm{Komplexe Spannung am Leitungsanfang $l=L$}\]

\[\underline{U}_2 ... \textrm{Komplexe Spannung am Leitungsende $l=0$}\]

\[\underline{I}_1 ... \textrm{Komplexer Strom am Leitungsanfang $l=L$}\]

\[\underline{I}_2 ... \textrm{Komplexer Strom am Leitungsende $l=0$}\]

\[\underline{U}_1(t) ... \textrm{Komplexe Spannung am Leitungsanfang $l=L$ in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[\underline{U}_2(t) ... \textrm{Komplexe Spannung am Leitungsende $l=0$ in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[\underline{I}_1(t) ... \textrm{Komplexer Widerstand am Leitungsanfang $l=L$}\]

\[\underline{I}_2(t) ... \textrm{Komplexer Widerstand am Leitungsende $l=0$}\]

\[\underline{r}(l) ... \textrm{Komplexer Reflexionsfaktor entlang der Leitung}\]

\[\underline{r}(0) ... \textrm{Komplexer Reflexionsfaktor am Leitungsende $l=0$ }\]

\[U_{h(l)} ... \textrm{Realteil der hinlaufende Spannungswelle}\]

\[U_{r(l)} ... \textrm{Realteil der rücklaufende Spannungswelle}\]

\[I_{h(l)} ... \textrm{Realteil der hinlaufende Stromwelle}\]

\[I_{r(l)} ... \textrm{Realteil der rücklaufende Stromwelle}\]

\[U_{h(l,t)} ... \textrm{Realteil der hinlaufende Spannungswelle in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[U_{r(l,t)} ... \textrm{Realteil der rücklaufende Spannungswelle in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[I_{h(l,t)} ... \textrm{Realteil der hinlaufende Stromwelle in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[I_{r(l,t)} ... \textrm{Realteil der rücklaufende Stromwelle in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[U_{h(0,t)} ... \textrm{Realteil der hinlaufende Spannungswelle am Leitungsende $l=0$}\]

\[U_{r(0,t)} ... \textrm{Realteil der rücklaufende Spannungswelle am Leitungsende $l=0$}\]

\[I_{h(0,t)} ... \textrm{Realteil der hinlaufende Stromwelle am Leitungsende $l=0$}\]

\[I_{r(0,t)} ... \textrm{Realteil der rücklaufende Stromwelle am Leitungsende $l=0$}\]

\[U_{1} ... \textrm{Realteil der Spannung am Leitungsanfang $l=L$}\]

\[U_{2} ... \textrm{Realteil der Spannung am Leitungsende $l=0$}\]

\[I_{1} ... \textrm{Realteil des Stromes am Leitungsanfang $l=L$}\]

\[I_{2} ... \textrm{Realteil des Stromes am Leitungsende $l=0$}\]

\[U_{1(t)} ... \textrm{Realteil der Spannung am Leitungsanfang $l=L$ in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[U_{2(t)} ... \textrm{Realteil der Spannung am Leitungsende $l=0$ in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[I_{1(t)} ... \textrm{Realteil des Stromes am Leitungsanfang $l=L$ in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[I_{2(t)} ... \textrm{Realteil des Stromes am Leitungsende $l=0$ in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[U(l) ... \textrm{Realteil der Spannungswelle}\]

\[I(l) ... \textrm{Realteil der Stromwelle}\]

\[U(l,t) ... \textrm{Realteil der Spannungswelle in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[I(l,t) ... \textrm{Realteil der Stromwelle in Abhängigkeit der Zeit}\]

\[\lambda ... \textrm{Wellenlänge}\]

\[\alpha ... \textrm{Dämpfungskonstante}\]

\[\beta ... \textrm{Phasenmaß}\]

\[Z_{L} ... \textrm{Reelle Leitungswiderstand}\]

\[R´ ... \textrm{Widerstandsbelag}\]

\[L´ ... \textrm{Induktionsbelag}\]

\[C´ ... \textrm{Kapazitätsbelag}\]

\[G´ ... \textrm{Leitwertbelag}\]

\[t ... \textrm{Zeit}\]

\[T ... \textrm{Periodendauer}\]

\[f ... \textrm{Frequenz}\]

\[\omega ... \textrm{Kreisfrequenz}\]

\[l ... \textrm{Position auf der Leitung}\]

\[L ... \textrm{Länge der Leitung}\]

\[Z_{1} ... \textrm{Widerstand am Leitungsanfang $l=L$}\]

\[Z_{2} ... \textrm{Widerstand am Leitungsende $l=0$}\]

2.1. Leitungsgleichungen für harmonsiche Signale

UhclEq = Eq(Uhcl,U1c*exp(-gam*(L-l)))
display(UhclEq)
UrclEq = Eq(Urcl,U2c*exp(gam*(L-l)))
display(UrclEq)

UhcltEq = Eq(Uhclt,UhclEq.rhs*exp(j*w*t))
display(UhcltEq)
UrcltEq = Eq(Urclt,UrclEq.rhs*exp(j*w*l))
display(UrcltEq)

UclEq1 = Eq(Ucl,Uhcl+Urcl)
display(UclEq1)
UclEq = Eq(Ucl,UhclEq.rhs+UrclEq.rhs)
#display(UclEq)

UcltEq1 = Eq(Uclt,Ucl*exp(j*w*t))
display(UcltEq1)
UcltEq = Eq(Uclt,UclEq.rhs*exp(j*w*t))
#display(UcltEq)

#IclEq = Eq(Icl,Ihcl*exp(gam*l)-Ircl*exp(-gam*l))
#display(IclEq)
#IcltEq = Eq(Iclt,IclEq.rhs*exp(j*w*t))
#display(IcltEq)

\[\displaystyle \underline{U}_h(l) = \underline{U}_1 e^{- \underline{\gamma} \left(L - l\right)}\]

\[\displaystyle \underline{U}_r(l) = \underline{U}_2 e^{\underline{\gamma} \left(L - l\right)}\]

\[\displaystyle \underline{U}_h(l,t) = \underline{U}_1 e^{- \underline{\gamma} \left(L - l\right)} e^{i \omega t}\]

\[\displaystyle \underline{U}_r(l,t) = \underline{U}_2 e^{\underline{\gamma} \left(L - l\right)} e^{i \omega l}\]

\[\displaystyle \underline{U}(l) = \underline{U}_h(l) + \underline{U}_r(l)\]

\[\displaystyle \underline{U}(l,t) = \underline{U}(l) e^{i \omega t}\]

gamEq = Eq(gam,sqrt((Rs+j*w*Ls)*(Gs+j*w*Cs)))
display(gamEq)
betEq = Eq(bet,im(gamEq.rhs))
display(Latex(r'$\beta = Im(\underline{\gamma})$'))
alpEq = Eq(alp,re(gamEq.rhs))
display(Latex(r'$\alpha = Re(\underline{\gamma})$'))
ZLcEq = Eq(ZLc,sqrt((Rs+j*w*Ls)/(Gs+j*w*Cs)))
display(ZLcEq)

lamEq=Eq(lam,2*pi/betEq.rhs)
display(Latex('$\lambda = \\frac{2\pi } {\\beta}$'))

rc0Eq = Eq(rc0,Urc0/Uhc0)
rc0Eq1 = Eq(rc0,(Z2c-ZLc)/(Z2c+ZLc))
display(Latex('$ ' + latex(rc0Eq) + ' = ' + latex(rc0Eq1.rhs) +'$'))

\[\displaystyle \underline{\gamma} = \sqrt{\left(i C´ \omega + G´\right) \left(i L´ \omega + R´\right)}\]

\[\beta = Im(\underline{\gamma})\]

\[\alpha = Re(\underline{\gamma})\]

\[\displaystyle \underline{Z}_L = \sqrt{\frac{i L´ \omega + R´}{i C´ \omega + G´}}\]

\[\lambda = \frac{2\pi } {\beta}\]

\[ \underline{r}(0) = \frac{\underline{U}_r(0)}{\underline{U}_h(0)} = \frac{\underline{Z}_2 - \underline{Z}_L}{\underline{Z}_2 + \underline{Z}_L}\]

2.1.1. Spezialfall Verlustlose Leitung

Diese Annahme ist für hohe Frequenzen \(f > 1 \ \text{MHz}\) ausreichend genau.

GsEqN = Eq(Gs,0)
display(GsEqN)
RsEqN = Eq(Rs,0)
display(RsEqN)

vals = {Gs:GsEqN.rhs,Rs:RsEqN.rhs}

\[\displaystyle G´ = 0\]

\[\displaystyle R´ = 0\]

Damit vereinfachen sich die Gleichungen erheblich.

ZLEq1 = Eq(ZL,ZLcEq.rhs.subs(vals).simplify())
display(ZLEq1)
gamEq1 = Eq(gam,j*sqrt(Ls*Cs)*w)
display(gamEq1)
alpEq1 = Eq(alp,0)
display(alpEq1)
betEq1 = Eq(bet,w*sqrt(Cs*Ls))
display(betEq1)

\[\displaystyle Z_{L} = \sqrt{\frac{L´}{C´}}\]

\[\displaystyle \underline{\gamma} = i \omega \sqrt{C´ L´}\]

\[\displaystyle \alpha = 0\]

\[\displaystyle \beta = \omega \sqrt{C´ L´}\]

2.1.1.1. Betrachtung der stehenden, hin- und rücklaufenden Welle

Die hinlaufende Welle ergibts sich aus der Spannung am Eingang der Leitung. Für die grafische Darstellung wird der Realteil berechnet.

display(UhcltEq)
UhltEq=Eq(Uhlt,re(UhcltEq.rhs))
display(UhltEq)
#Uh0tEq=Eq(Uh0t,UhltEq.rhs.subs({l:0}))
#display(Uh0tEq)

\[\displaystyle \underline{U}_h(l,t) = \underline{U}_1 e^{- \underline{\gamma} \left(L - l\right)} e^{i \omega t}\]

\[\displaystyle U_{h(l,t)} = \operatorname{re}{\left(\underline{U}_1 e^{- \underline{\gamma} \left(L - l\right)} e^{i \omega t}\right)}\]

Die Berechnung der stehenden Welle erfolgt über den Reflexionsfaktor.

display(Markdown('Allgemein wird die stehende Welle wie folgt beschrieben.'))
display(UclEq1)
display(Markdown('Die hinlaufende Welle ist definiert zu.'))
display(UhclEq)
display(Markdown('Durch aufteilung des Exponenten lässt sich die Gleichung umformen.'))
UhclEq1 = Eq(Uhcl,Uhc0*exp(gam*l))
display(UhclEq1)
display(Markdown('Die rückluafende Welle ist definiert zu.'))
display(UrclEq)
display(Markdown('Wieder lässt sich die Gleichung durch aufteilung des Exponenten umformen.'))
UrclEq1 = Eq(Urcl,Urc0*exp(-gam*l))
display(UrclEq1)

display(Markdown('Werden nun die umgeformenten Gleichungen in die allgemeine Gleichung für die Spannung eingesetzt, erhält man eine Gleichung die nicht mehr von $U_2$ abhängt.'))
UclEq2 = Eq(Ucl,UclEq1.subs({Uhcl:UhclEq1.rhs,Urcl:UrclEq1.rhs}))
display(UclEq2)
display(Markdown(r'Wird nun noch \$U_h(0)$ heraus gehoben, dann kann der Term $\frac{U_r(0)}{U_h(0)} $ durch den Reflexionsfaktor ersetzt werden.'))
UclEq2=Eq(Ucl,Uhc0*(exp(gam*l)+Urc0/Uhc0*exp(-gam*l)))
display(UclEq2)
display(Markdown(r'In der abschließenden Form ergibt sich die Gleichung der Spannungswelle auf der Leitung wie folgt.'))
UclEq3=Eq(Ucl,Uhc0*(exp(gam*l)+rc0*exp(-gam*l)))
display(UclEq3)
display(Markdown('Die hinlaufende Welle am Kabelende, Verbraucherseitig, ergibt sich durch einsetzen von $l=0$'))
Uhc0tEq=Eq(Uhc0t,UhcltEq.rhs.subs({l:0}))
display(Uhc0tEq)
display(Markdown('Wird auch diese Gleichung noch eingesetzt so erhält man die endgültige From die nun grafisch dargestellt werden kann.'))
UcltEq2 = Eq(Uclt,UclEq3.rhs.subs({Uhc0:Uhc0tEq.rhs}))
display(UcltEq2)
display(Markdown('Der für die grafische darstellung benötigte Realteil.'))
UltEq = Eq(Ult,re(UcltEq2.rhs))
display(UltEq)

Allgemein wird die stehende Welle wie folgt beschrieben.

\[\displaystyle \underline{U}(l) = \underline{U}_h(l) + \underline{U}_r(l)\]

Die hinlaufende Welle ist definiert zu.

\[\displaystyle \underline{U}_h(l) = \underline{U}_1 e^{- \underline{\gamma} \left(L - l\right)}\]

Durch aufteilung des Exponenten lässt sich die Gleichung umformen.

\[\displaystyle \underline{U}_h(l) = \underline{U}_h(0) e^{\underline{\gamma} l}\]

Die rückluafende Welle ist definiert zu.

\[\displaystyle \underline{U}_r(l) = \underline{U}_2 e^{\underline{\gamma} \left(L - l\right)}\]

Wieder lässt sich die Gleichung durch aufteilung des Exponenten umformen.

\[\displaystyle \underline{U}_r(l) = \underline{U}_r(0) e^{- \underline{\gamma} l}\]

Werden nun die umgeformenten Gleichungen in die allgemeine Gleichung für die Spannung eingesetzt, erhält man eine Gleichung die nicht mehr von $U_2$ abhängt.

\[\displaystyle \underline{U}(l) = \underline{U}(l) = \underline{U}_h(0) e^{\underline{\gamma} l} + \underline{U}_r(0) e^{- \underline{\gamma} l}\]

Wird nun noch $U_h(0)$ heraus gehoben, dann kann der Term $\frac{U_r(0)}{U_h(0)} $ durch den Reflexionsfaktor ersetzt werden.

\[\displaystyle \underline{U}(l) = \underline{U}_h(0) \left(e^{\underline{\gamma} l} + \frac{\underline{U}_r(0) e^{- \underline{\gamma} l}}{\underline{U}_h(0)}\right)\]

In der abschließenden Form ergibt sich die Gleichung der Spannungswelle auf der Leitung wie folgt.

\[\displaystyle \underline{U}(l) = \underline{U}_h(0) \left(\underline{r}(0) e^{- \underline{\gamma} l} + e^{\underline{\gamma} l}\right)\]

Die hinlaufende Welle am Kabelende, Verbraucherseitig, ergibt sich durch einsetzen von $l=0$

\[\displaystyle \underline{U}_h(0,t) = \underline{U}_1 e^{- L \underline{\gamma}} e^{i \omega t}\]

Wird auch diese Gleichung noch eingesetzt so erhält man die endgültige From die nun grafisch dargestellt werden kann.

\[\displaystyle \underline{U}(l,t) = \underline{U}_1 \left(\underline{r}(0) e^{- \underline{\gamma} l} + e^{\underline{\gamma} l}\right) e^{- L \underline{\gamma}} e^{i \omega t}\]

Der für die grafische darstellung benötigte Realteil.

\[\displaystyle U(l,t) = - \left(e^{l \operatorname{re}{\left(\underline{\gamma}\right)}} \sin{\left(l \operatorname{im}{\left(\underline{\gamma}\right)} \right)} + \operatorname{im}{\left(\underline{r}(0) e^{- \underline{\gamma} l}\right)}\right) \operatorname{im}{\left(\underline{U}_1 e^{- L \underline{\gamma}} e^{i \omega t}\right)} + \left(e^{l \operatorname{re}{\left(\underline{\gamma}\right)}} \cos{\left(l \operatorname{im}{\left(\underline{\gamma}\right)} \right)} + \operatorname{re}{\left(\underline{r}(0) e^{- \underline{\gamma} l}\right)}\right) \operatorname{re}{\left(\underline{U}_1 e^{- L \underline{\gamma}} e^{i \omega t}\right)}\]

Die rücklaufende Welle lässt sich wie folgt berechnen.

display(Markdown('Die allgemeine Geichung für die stehende Welle wird auf $U_r(l)$ umgeformt.'))
display(UclEq1)
UrclEq1 = Eq(Urcl,solve(UclEq1,Urcl)[0])
display(UrclEq1)
display(Markdown(r'Die Gleichung für die stehende Welle und für die hinlaufende Welle wird eingesetzt.'))
UrclEq2 = Eq(Urclt,(UrclEq1.rhs.subs({Ucl:UcltEq2.rhs,Uhcl:UhcltEq.rhs})).simplify())
display(UrclEq2)
display(Markdown('Der für die grafische darstellung benötigte Realteil.'))
UrltEq = Eq(Ult,re(UrclEq2.rhs))
display(UrltEq)

Die allgemeine Geichung für die stehende Welle wird auf $U_r(l)$ umgeformt.

\[\displaystyle \underline{U}(l) = \underline{U}_h(l) + \underline{U}_r(l)\]

\[\displaystyle \underline{U}_r(l) = \underline{U}(l) - \underline{U}_h(l)\]

Die Gleichung für die stehende Welle und für die hinlaufende Welle wird eingesetzt.

\[\displaystyle \underline{U}_r(l,t) = \underline{U}_1 \underline{r}(0) e^{- L \underline{\gamma} + i \omega t - \underline{\gamma} l}\]

Der für die grafische darstellung benötigte Realteil.

\[\displaystyle U(l,t) = \operatorname{re}{\left(\underline{U}_1 \underline{r}(0) e^{- L \underline{\gamma} + i \omega t - \underline{\gamma} l}\right)}\]

2.1.1.2. Grafische Darstellung

Für die grafische Darstellung wird der Realteil benötigt.

LsN=2.5 * 10**-9*10**2 # H/m
LsEqN = Eq(Ls,LsN)
vals = vals | {Ls:LsEqN.rhs}
display(LsEqN)

CsN=1 * 10**-12*10**2 # F/m
CsEqN = Eq(Cs,CsN)
vals = vals | {Cs:CsEqN.rhs}
display(CsEqN)

wN=2*pi*10**6 # 1/s
wEqN = Eq(w,wN)
vals = vals | {w:wEqN.rhs}
display(wEqN)

U1cN=8 # V
U1cEqN = Eq(U1c,U1cN)
vals = vals | {U1c:U1cEqN.rhs}
display(U1cEqN)

Z2cN= 10**-6  #Ohm
vals = assign_Z2N(vals,Z2cN)
Z2EqN = Eq(Z2c,Z2cN)
display(Z2EqN)

#I2cN=1 #A
#I2cEqN = Eq(I2c,I2cN)
#display(I2cEqN)

\[\displaystyle L´ = 2.5 \cdot 10^{-7}\]

\[\displaystyle C´ = 1.0 \cdot 10^{-10}\]

\[\displaystyle \omega = 2000000 \pi\]

\[\displaystyle \underline{U}_1 = 8\]

\[\displaystyle \underline{Z}_2 = 1.0 \cdot 10^{-6}\]

vals = calculate_ZLcN(vals)
vals = calculate_lamN(vals)
vals = calculate_TN(vals) 
vals = calculate_rc0N(vals)
vals = assign_LN(vals,4*vals[lam])

Plot der Hinlaufenden Welle

vals = calculate_tN(vals,0)
l_array,UhltNnpA = equation_over_time(UhltEq,vals)
plot_over_time(l_array,UhltNnpA)
display(Latex('$t = ' + latex(vals[t]) + '\ s$'))

\[t = 0\ s\]

Die rücklaufende Welle

l_array,Urlt1NnpA = equation_over_time(UrltEq,vals)
#display(Urlt1NnpA)
plot_over_time(l_array,Urlt1NnpA)
display(Latex('$t = ' + latex(vals[t]) + '\ s$'))

\[t = 0\ s\]

Plot der stehende Welle

vals = calculate_tN(vals,1/pi)
l_array,Ult1NnpA = equation_over_time(UltEq,vals)
#display(Urlt1NnpA)
plot_over_time(l_array,Ult1NnpA)
display(Latex('$t = ' + latex(vals[t]) + '\ s$'))

\[t = \frac{1}{1000000 \pi}\ s\]

Zeitlicher verlauf der hin-, rück- und stehenden Welle.

#animation
fig, ax1 = plt.subplots(1, 1)
#ax2 = ax1.twinx()
lamN = vals[lam]

ax1.set(xlim=(0, float(lamN)))
ax1.grid()

line1, = ax1.plot([], [], 'b', lw=2)
text = ax1.text(3/4*lamN, 2.05, '')

xtick_array = np.linspace(0,max(l_array),int(max(l_array)/(lamN/4))+1)
#,xticklabels=[0,'$\lambda /4 $','$\lambda/2$','$3/4\ \lambda$','$\lambda$']
ax1.set(xlabel='Länge in m',xlim=(0, float(lamN)),xticks=xtick_array)

ax1.set(ylabel ='Voltage in V')

ax1.invert_xaxis()

#ax2.set(xlabel='Länge in m',xticks=[0,lamN/4,lamN/2,3/4*lamN,lamN],xticklabels=[0,'$\lambda /4 $','$\lambda/2$','$3/4\ \lambda$','$\lambda$'])
line2, = ax1.plot([], [], 'r--', lw=2)
line3, = ax1.plot([], [], 'k--', lw=2)


time_template = 'time = %.2e $\mu $s'

nTN_array = np.arange(0,1,0.01)

def init():
#    line, = ax.plot([], [], 'b', lw=2)
    return line1, line2, text

def animate(i):
    nTN = nTN_array[i]
    #display(nTN_array)
    
    x = l_array
    vals1 = calculate_tN(vals,nTN)
    
    x,y1 = equation_over_time(UhltEq,vals1)
    
    x,y2 = equation_over_time(UrltEq,vals1)   
    #display(y2)
    
    x,y3 = equation_over_time(UltEq,vals1) 
       
    ax1.set(ylim= (min(np.append(y1,y2)), max(np.append(y1,y2))))
    
    line1.set_data(x, y1)
    line2.set_data(x, y2)
    line3.set_data(x, y3)
    text.set_text(time_template % (vals[t]*(10**6)))
    return line1, line2, text

anim = animation.FuncAnimation(fig, animate, np.arange(1, len(nTN_array)),interval=50, blit=True, init_func=init)

plt.close()

HTML(anim.to_jshtml())

Once Loop Reflect

Wellen in abhägigkeit des Abschlusswidersandes \(\underline{Z}_2\).

#animation
fig, ax1 = plt.subplots(1, 1)
#ax2 = ax1.twinx()
lamN = vals[lam]

vals = calculate_tN(vals,1/pi)

ax1.set(xlim=(0, float(lamN)))
ax1.grid()

line1, = ax1.plot([], [], 'b', lw=2)
text = ax1.text(3/4*lamN, 2.05, '')

xtick_array = np.linspace(0,max(l_array),int(max(l_array)/(lamN/4))+1)
#,xticklabels=[0,'$\lambda /4 $','$\lambda/2$','$3/4\ \lambda$','$\lambda$']
ax1.set(xlabel='Länge in m',xlim=(0, float(lamN)),xticks=xtick_array)

ax1.set(ylabel ='Voltage in V')

ax1.invert_xaxis()

#ax2.set(xlabel='Länge in m',xticks=[0,lamN/4,lamN/2,3/4*lamN,lamN],xticklabels=[0,'$\lambda /4 $','$\lambda/2$','$3/4\ \lambda$','$\lambda$'])
line2, = ax1.plot([], [], 'r--', lw=2)
line3, = ax1.plot([], [], 'k--', lw=2)


text_template = '$|r(0)|$ = %.2f'

Z2cN_array = np.arange(0.01,10*float(vals[ZLc]),1/10*float(vals[ZLc]))


def init():
#    line, = ax.plot([], [], 'b', lw=2)
    return line1, line2, text

def animate(i):
    Z2cN = Z2cN_array[i]
    
    #display(nTN_array)
    
    x = l_array
    vals1 = assign_Z2N(vals,Z2cN)
    vals1 = calculate_rc0N(vals1)
    
    x,y1 = equation_over_time(UhltEq,vals1)
    
    x,y2 = equation_over_time(UrltEq,vals1)   
    
    x,y3 = equation_over_time(UltEq,vals1) 
       
    ax1.set(ylim= (min(np.append(y1,y2)), max(np.append(y1,y2))))
    
    line1.set_data(x, y1)
    line2.set_data(x, y2)
    line3.set_data(x, y3)
    text.set_text(text_template % (float(vals[rc0])))
    return line1, line2, text

anim = animation.FuncAnimation(fig, animate, np.arange(1, len(Z2cN_array)),interval=50, blit=True, init_func=init)

plt.close()

HTML(anim.to_jshtml())

Once Loop Reflect

2.2. Leitungstranformation und Leitungsanpassung

Unter Transformation ist zu verstehen wie die Leitung und der Abschluss der Leitung sich auf den Leitungseingang auswirken. Die Betrachtung erfolgt analog zur Vierpoltheorie. Auf die Herleitung der Transformationsgleichung aus der \(A\) Vierpolmatrix soll an dieser Stelle verzichtet werden.

Z1cEq = Eq(Z1c,ZLc*(Z2c/ZLc+j*tan(2*pi*l/lam))/(1+j*Z2c/ZLc*tan(2*pi*l/lam)))
display(Z1cEq)

\[\displaystyle \underline{Z}_1 = \frac{\underline{Z}_L \left(\frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_L} + i \tan{\left(\frac{2 \pi l}{\lambda} \right)}\right)}{\frac{i \underline{Z}_2 \tan{\left(\frac{2 \pi l}{\lambda} \right)}}{\underline{Z}_L} + 1}\]

2.2.1. Spezialfall Kurzschluss am Ausgang

Z1cshortedEq=Eq(Z1c,limit(Z1cEq.rhs,Z2c,0))
display(Z1cshortedEq)

\[\displaystyle \underline{Z}_1 = i \underline{Z}_L \tan{\left(\frac{2 \pi l}{\lambda} \right)}\]

2.2.2. Spezialfall Leerlauf am Ausgang

Z1copenEq=Eq(Z1c,limit(Z1cEq.rhs,Z2c,oo))
display(Z1copenEq)

\[\displaystyle \underline{Z}_1 = - \frac{i \underline{Z}_L}{\tan{\left(\frac{2 \pi l}{\lambda} \right)}}\]

2.2.3. Spezialfall \(\frac{\lambda}{4}\) Leiter

Z1clam4Eq=Eq(Z1c,limit(Z1cEq.rhs,l,lam/4))
display(Z1clam4Eq)

\[\displaystyle \underline{Z}_1 = \frac{\underline{Z}_L^{2}}{\underline{Z}_2}\]

2.2.3.1. \(\frac{\lambda}{4}\) Leiter Kurzgeschlossen

\(\underline{Z}_2 = 0 \ \Omega\).
\(\underline{Z}_1\) geht gegen \(\infty\). Das bedeutet, dass eine Quelle am Eingang quais im Leerlauf arbeitet.

Z1clam4shortedEq=Eq(Z1c,limit(Z1clam4Eq.rhs,Z2c,0))
display(Z1clam4shortedEq)

\[\displaystyle \underline{Z}_1 = \infty \operatorname{sign}{\left(\underline{Z}_L^{2} \right)}\]

2.2.3.2. \(\frac{\lambda}{4}\) Leiter Leerlauf

\(\underline{Z}_2 = \infty \ \Omega\).
\(\underline{Z}_1\) geht gegen \(0\). Das bedeutet, dass eine Quelle am Eingang quasi Kurzgeschlossen wird.

Z1clam4openEq=Eq(Z1c,limit(Z1clam4Eq.rhs,Z2c,oo))
display(Z1clam4openEq)

\[\displaystyle \underline{Z}_1 = 0\]

2.2.4. Spezialfall \(\frac{\lambda}{2}\) Leiter

Z1clam2Eq=Eq(Z1c,limit(Z1cEq.rhs,l,lam/2))
display(Z1clam2Eq)

\[\displaystyle \underline{Z}_1 = \underline{Z}_2\]

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1.4. Bodediagramme von Filter

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3. Bibliography